Mathématiques en HX II

Premières propriétés, théorème de Zeckendorf, applications aux cartes magiques

Complexes et analyses, polynôme de Tchebychev

Intégrale à paramètre, irrationalité de \(\pi\), calcul de \(\zeta\) pour les entiers pairs

Ensembles, nombres premiers, théorème d'incomplétude de Gödel, formules de Taylor, villages et tribus

Relations binaires, tribus et clans, théorème du point fixe de Tarski et théorème de Cantor-Bernstein, triplets pythagoriciens

Un anneau principal et une intégrale à paramètre

Nombre de surjections entre ensembles finis, formule d'inversion de Möbius, fonctions génératrices, nombre d'involutions

Calculs, formule entre intégrales, puissances descendantes

Produit de tangentes, géométrie complexe, parties denses de \(\mathbb{R}\)

Actions de groupes, groupe symétrique de degré \(n\), décomposition en produit de cycles

Décomposition d'un anneau, nombre d'enroulements de Poincaré

Lemme de Gauss, loi de réciprocité quadratique de Gauss, test de Pépin, symbole de Legendre, théorème de Wilson

Équation aux dérivées partielles, la variole

Endomorphismes tels que \(u^2=ku\), intégrales de Wallis et formule de Stirling

Produits infinis de réels et de complexes

Réorganisation des termes d'une série semi-convergente, propriétés de certaines séries semi-convergentes

Intégration, analyse, distance et continuité

Sur les séries, CNS de convergence pour des suites de fonctions, calculs de sommes doubles

Théorème de d'Alembert-Gauss, disques de Gerschgorin, théorème d'Eneström-Kakeya, théorème de Cohn

Quelques propriétés, caractéristiques et niveaux d'un anneau, polynômes

La sous-algèbre \(\mathbb{K}[a]\), matrices de Toeplitz, irréductibilité dans \(\mathbb{Q}[X]\), polynômes cyclotomiques

Représentations linéaires, formule de Burnside, caractères des représentations, représentations irréductibles et orthogonalité des caractères

Applications semi-linéaires, éléments co-propres, CNS de co-diagonalisabilité

Caractérisation des matrices symétriques définies positives, étude d'une suite de polynômes, matrices de Hilbert

Matrices rectangles et inverses à gauche et à droite

Probabilités

Inéquation et équation, calculs d'intégrales, trigonométrie, inégalités entre fonctions, arithmétique et équations fonctionnelles.

Décompostion d'un entier en base \( b\), décomposition héréditaire, théorème de Goodstein, ensembles bien ordonnés, ordinaux.

Problème 1 : Coefficients optimaux de Bézout, algorithme d'Euclide.
Problème 2 : autour de \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t \), calcul de cette intégrale.

Exercice 1 : Une somme trigonométrique
Exercice 2 : Une somme de produits
Exercice 3 : Proximal d'une famille de points du plan.
Exercice 4 : dénombrement
Problème : dénombrement par involution, chemin de Dyck, formule du Crible, bijection de Garcia-Milne

Groupes quotients, groupes abéliens finis, théorème de Lagrange, ordre des éléments, sommes directes, groupes abéliens de rang fini, théorème de structure des groupes de types finis

Non complétude de \( \mathbb{Q} \), définition du corps des réels, suites de Cauchy, ordre naturel sur les réels

Analyse, espaces vectoriels des suites bornées et périodiques de complexes, étude de la série \( \displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{c_n}{n^\alpha} \), avec \( (c_n) \), une suite périodique et \(\alpha\in\mathbb{R}\)

Combinatoire, résultats classiques sur ces polynômes, cas particulier du théorème de Stone-Weierstrass

Algèbre linéaire, endomorphismes nilpotents, endomorphismes \( g\) tels que \( \lambda \mathrm{Id}_{\mathbb{R}_n[X]} + D_n = g^2\)